高精度的电池荷电状态估计是电动汽车电池管理系统的关键技术之一，其估计精度直接影响能量管理效率和汽车的续航里程。传统的滤波方法基于模型来估计电池SOC，但难以建立锂离子电池精确的数学模型。针对此问题，提出一种基于高斯过程回归的无迹卡尔曼滤波(UKF)锂离子电池SOC估计方法，使用高斯过程回归在有限的训练数据下建立等效电路模型的测量方程，在UKF和高斯过程回归之间建立关联。该模型能够充分联合利用现有实验数据和被预测实时状态数据，实现SOC估计。结果表明，与传统UKF相比，基于高斯过程回归的UKF算法具有较高精确性。
随着化石燃料的逐渐枯竭以及环境问题日益严重，发展新能源电动汽车(electric vehicle, EV)得到各国政府的广泛关注。由于锂离子电池具有更高的能量密度、较长的使用寿命以及可靠的安全性，因此，锂离子电池被广泛应用于EV领域。电池的荷电状态(SOC)估计是电池管理系统(BMS)的核心组成部分，精确的SOC估计是保证EV稳定、安全、有效工作的基本前提。
目前，常见的电池荷电状态估计方法主要包括两大类：传统的SOC估计法和多种融合的估计方法。传统的SOC估计法包括安时积分法、开路电压法、等效模型法、数据驱动法。传统的SOC估计方法起步较早，安时积分法对于较短时间的SOC估计能够保证较好的精度，随着时间的延长，误差累积日益加剧。开路电压法是一种相对比较简单的估计SOC方法，但是目前广泛应用于实验环境下。基于模型的估计方法，包括以扩展卡尔曼(EKF)、无迹卡尔曼(UKF)等为代表的非线性滤波方法。基于数据驱动的方法来解决电池系统的非线性问题引起了广泛关注，包括人工神经网络(ANNs)、支持向量机(SVM)、高斯过程回归(GPR)。多种融合估计方法是目前电池状态估计研究的热点方向，将多种SOC估计方法进行融合，取长补短，能够有效地对SOC进行预测。UKF采用Sigma变换来实现非线性函数的转换，进而计算后验证概率密度的均值和方差，相比于EKF减少了雅克比矩阵的求解同时提高了滤波精度。高斯过程回归方法在处理小样本、不确定问题方面有明显优势，很适合与UKF结合。采用非线性滤波的方法来估计电池的荷电状态，精确的状态空间模型和测量噪声是保证估计精度的重要因素。然而，高精度的SOC预测本质是一个非线性、不平稳以及外界干扰问题， 如汽车运行中的紧急刹车，电磁干扰和温度变化使得电池的参数变化，如电池的老化引起电阻的变化，电池温度变高引起电容的变化。因此，电池系统的状态复杂时变，精确建立电池系统的状态模型十分困难。随着机器学习方法的进一步发展，高斯过程回归(Gaussian process regression，GPR)针对电池系统的非线性问题，贝叶斯滤波方法可以解决电池系统的不平稳和外界干扰问题，因此，提出一种基于GPR与贝叶斯滤波结合的方法进行荷电状态估计，并通过实验仿真验证该算法的高精度性。
1 电池模型
1.1 建立电池状态空间模型
目前，使用传统的电压源、电阻、电容等电路元件来建立电池的等效电路模型，利用RC网络来描述电池的动态特性。常见的电池模型包括：Rint模型、Thevenin模型、双极化模型以及PNGV等模型。考虑模型的精度和复杂度，选用双极化模型作为等效电路模型，模型图如图1所示。
其中，是电池组的电流；是开路电压；是端电压；是欧姆电阻；是极化内阻；是浓极化电阻；是极化电容；是浓极化电容。对电池的状态方程进行离散化处理，得到离散化的等效电路模型的方程。
离散化的电池状态方程见式(4)
1.2 参数辨识
对于双极化模型而言，需要辨识的参数包括、、、、。采用混合脉冲功率特性测试(hybrid pulse power characteristic, HPPC)方法来进行参数辨识。根据HPPC的测试结果，通过离线计算可以得出双极化模型的等效模型参数，如表1所示。
1.3 模型验证
根据离线辨识的双极化模型参数，通过测试的恒流脉冲放电工况进行模型验证，结果见图2。
2 基于高斯过程回归的UKF算法
2.1 高斯过程回归
针对高斯超参数对似然函数求偏导，最终计算得到最优超参数，，。代入式(6)得到预测的均值和方差。
2.2 UKF算法
无迹卡尔曼滤波方法摒弃了对非线性函数通过泰勒展开进行线性化的做法。采用经典卡尔曼滤波的框架，对于预测方程，使用无迹非线性变化来逼近非线性系统，从而得到非线性系统的后验均值和协方差。相比于扩展卡尔曼滤波算法，UT变换后的均值和协方差的估计精度至少能达到二阶泰勒精度。
根据锂离子电池的系统模型，系统的状态空间如下
其中，式(12)为系统的状态方程；式(13)为系统的观测方程；表示系统的输入；表示系统的输出；表示系统的过程噪声；表示系统的观测噪声。
UKF公式如下。
(2) 产生Sigma点集并计算相应权值
其中，放缩比例参数，控制采样点的分布状态参数，通常取值为 ；非负权系数 ，对于高斯分布，常取 ；待选参数 ，保证矩阵为半正定矩阵。
(3) 时间更新
(4) 测量更新
(5) 卡尔曼增益
(6) 更新状态均值和协方差
2.3 基于高斯过程回归的UKF算法
基于高斯过程的无迹卡尔曼模型是融合物理模型和数据模型的高精度滤波模型。利用高斯过程学习UKF的测量方程，提出一种新的锂离子电池SOC估计方法。特别是当测量模型不准确的情况下，融合高斯过程回归和无迹卡尔曼滤波算法更优于参数模型。同时基于GPR的UKF模型有效减少卡尔曼滤波算法的复杂度，且具有较高的估计精度。基于高斯过程回归的无迹卡尔曼滤波算法流程图如图3所示。
3 实验验证及分析
分别选用由12节磷酸铁锂离子电池串联组成的电池包作为实验样本，通过城市道路循环工况(urban dynamometer driving schedule，UDDS)以及由18650锂离子电池在动态应力测试工况下(dynamic stress test)来获取实验数据，验证基于高斯过程回归的UKF算法的有效性，并与经典无迹卡尔曼进行对比分析。通过EVT500 -500仪器测试系统、恒温箱、上位机、Fluke 数据记录仪以及相关配套设备在20 ℃下采集数据，选取4000个样本作为模型的训练样本。图4为UDDS工况下采集数据；图5为DST工况下采集数据。
采用绝对百分比均值误差(mean absolute percentage error，MAPE)和均方根误差(root mean square error，RMSE)对GPR-UKF算法的有效性进评估。其中：RMSE和MAPE的计算公式见式(27),(28)。
其中，是测试样本数；是SOC的估计值；是SOC的实际值。
根据图3分析，基于高斯过程回归的UKF算法包括学习和估计两个部分。采用高斯过程回归来学习测量模型，将测试的电流和SOC值作为训练数据来估计电压值，其优于物理模型，尤其是当参数模型不准确的情况。模型一旦被训练好，就可得出预测值，然后在UKF的基础上来估计SOC值。图6为在UDDS工况下基于高斯过程回归对测量方程进行估计，得到的估计电压值。图7为在DST工况下基于高斯过程回归对测量方程进行估计，得到的估计电压值。图8为UDDS工况下对实测电压和估计电压的误差对比，图9为DST工况下对实测电压和估计电压的误差对比。结果表明，通过高斯过程回归来预测电压能较好地估计实际电压。
因为电动汽车通常在复杂的工况下行驶，对锂离子电池的性能要求较高。为了验证基于GPR的UKF估计方法的有效性，在UDDS工况下分别采用UKF和基于GPR的UKF方法对由12节磷酸锂离子电池串联组成的电池包的SOC估计；在DST工况下分别采用UKF和基于GPR的UKF方法对由18650锂离子电池的SOC估计。图10为UDDS工况下的UKF估计数据，图11为DST工况下的UKF估计数据，图12为UDDS工况下的UKF估计误差，图13为DST工况下的UKF估计误差，图14为UDDS工况下的SOC估计，图15为DST工况下的SOC估计，图16为UDDS工况下的SOC估计误差，图17为DST工况下的SOC估计误差。
由图10,11,12,13,14,15,16,17可看出，基于高斯过程回归的UKF算法具有较高的估计精度，可以较好地估计电池的SOC。根据图14,15可知，两种算法的误差都较小，随着时间的增大，二者误差逐渐增大，在0～2000 s间误差呈现递增趋势，在2000 s左右误差达到最大，这种现象主要是由于电池的模型误差累计引起的。为了进一步验证算法的有效性，将GPR-UKF与经典的UKF进行比较，结果见表2。可以看出，在UDDS工况下GMR-UKF的均方根误差为1.57%，在UDDS工况下UKF的绝对百分比均值误差为2.24%。在DST工况下GMR-UKF的均方根误差为1.48%，在DST工况下UKF的绝对百分比均值误差为3.52%。
4 结 论
提出一种基于高斯过程回归的UKF锂离子电池SOC估计方法，基于GPR训练得出电池测量方程，通过在实验验证模型的输出与测得的电压进行比较验证，得出基于GPR估计的测量方程能比较精确地获得模型。基于GPR的测量方程在UKF中使用，实验验证了该算法的准确性和有效性。此外，由于GPR是通用方法，所提出的方法也可用于其他模型，同时也可以减少卡尔曼滤波算法的计算复杂度。
